Materi Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras adalah salah satu konsep fundamental dalam geometri Euclidean yang menjelaskan hubungan antara tiga sisi segitiga siku-siku. Teorema ini dinamai dari matematikawan Yunani kuno, Pythagoras dari Samos.

1. Pengertian Teorema Pythagoras

Darmawan (2022:86) menyatakan bahwa teorema Pythagoras adalah teori yang menunjukkan hubungan antara sisi dalam segitiga siku-siku. Teorema Pythagoras dapat digunakan untuk memperhitungkan bidang yang memiliki desain segitiga siku-siku, seperti pada atap bangunan.

Teorema Pythagoras berbunyi:

"Di dalam sebuah segitiga siku-siku diberlakukan kuadrat dari sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya".

Dengan demikian ketiga sisi segitiga siku-siku memiliki hubungan yang saling terikat.

2. Sifat-Sifat Teorema Pythagoras

Beberapa sifat penting dari Teorema Pythagoras meliputi:

Hanya berlaku pada segitiga siku-siku.
Minimal 2 sisinya dapat diketahui terlebih dahulu.
Dapat digunakan untuk memeriksa apakah sebuah segitiga adalah siku-siku atau tidak.
Dapat digunakan untuk mencari nilai sisi hipotenusa (kemiringan).
Luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi pada sisi-sisi lainnya.

3. Rumus Teorema Pythagoras

Seperti yang telah disebutkan, Teorema Pythagoras berbunyi:

"Di dalam sebuah segitiga siku-siku diberlakukan kuadrat dari sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi lainnya".

Perhatikan ilustrasi dan rumus Teorema Pythagoras berikut:

Segitiga siku-siku dengan sisi $a, b, c$

Dengan asumsi $c$ adalah sisi miring (hipotenusa), $a$ adalah alas segitiga, dan $b$ adalah tinggi segitiga:

$$c^2 = a^2 + b^2$$ $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Untuk mencari panjang sisi $a$ atau $b$ jika sisi miring $c$ dan satu sisi lainnya diketahui:

$$a^2 = c^2 - b^2$$ $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$ $$b^2 = c^2 - a^2$$ $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$

4. Contoh Soal Penerapan Teorema Pythagoras

Untuk lebih memahami penerapan Teorema Pythagoras, mari kita lihat beberapa contoh soal berikut:

Contoh Soal 1

Terdapat segitiga $PQR$ siku-siku di $Q$. Jika diketahui panjang sisi $PQ = 5$ cm dan $QR = 12$ cm, maka panjang sisi $PR$ adalah...

Penyelesaian:

Diketahui:

Alas ($a$) = $QR$ = $12$ cm
Tinggi ($b$) = $PQ$ = $5$ cm

Ditanya: Panjang sisi $PR$ ($c$)?

Penyelesaian:

Menggunakan rumus $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 12^2 + 5^2$$ $$c^2 = 144 + 25$$ $$c^2 = 169$$ $$c = \sqrt{169}$$ $$c = 13$$

Jadi, panjang sisi $PR$ adalah $13$ cm.

Contoh Soal 2

Segitiga siku-siku memiliki alas sepanjang 12 cm dan sisi miring sepanjang $15$ cm. Tentukan tinggi dari segitiga siku-siku tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:

Alas ($a$) = $12$ cm
Sisi miring ($c$) = $15$ cm

Ditanya: Tinggi ($b$)?

Penyelesaian:

Menggunakan rumus $b^2 = c^2 - b^2$:

$$b^2 = 15^2 - 12^2$$ $$b^2 = 225 - 144$$ $$b^2 = 81$$ $$b = \sqrt{81}$$ $$b = 9$$

Jadi, tinggi segitiga tersebut adalah $9$ cm.

Contoh Soal 3

Sebuah persegi panjang memiliki panjang $24$ cm dan lebar $10$ cm. Tentukanlah berapa panjang diagonal dari persegi panjang tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:

Panjang sisi = Alas ($a$) = $24$ cm
Lebar sisi = Tinggi ($b$) = $10$ cm

Ditanya: Panjang diagonal ($c$)?

Penyelesaian:

Menggunakan rumus $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 24^2 + 10^2$$ $$c^2 = 576 + 100$$ $$c^2 = 676$$ $$c = \sqrt{676}$$ $$c = 26$$

Jadi, panjang diagonal persegi panjang tersebut adalah $26$ cm.

Contoh Soal 4

Pak Budi berencana untuk membuat wahana perosotan untuk anaknya dengan menggunakan peralatan yang ada di rumahnya. Jika jarak tempat tujuan akhir perosotan dengan tempat untuk naik yang tersedia di rumah adalah $8$ meter dan tinggi dari tempat naik atau tangga dari perosotan itu adalah $6$ meter, berapakah panjang sisi miring tempat untuk perosotan itu?

Penyelesaian:

Diketahui:

Jarak tempat naik sampai tujuan akhir = Alas ($a$) = $8$ cm
Tinggi perosotan = Tinggi ($b$) = $6$ cm

Ditanya: Panjang sisi miring perosotan ($c$)?

Penyelesaian:

Menggunakan rumus $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 8^2 + 6^2$$ $$c^2 = 64 + 36$$ $$c^2 = 100$$ $$c = \sqrt{100}$$ $$c = 10$$

Jadi, panjang sisi miring perosotan adalah $10$ cm.

Contoh Soal 5

Andi dan Budi tinggal di kompleks yang sama dan rumah mereka dipetakan pada koordinat bidang sebagai berikut: Rumah Andi di titik ($1,-2$) dan Rumah Budi di titik ($-3,4$). Jika mereka ingin bertemu di rumah salah satu, tentukan jarak terdekat yang harus ditempuh Andi jika ia pergi ke rumah Budi dengan menggunakan koordinat kartesius?

Penyelesaian:

Diketahui:

Koordinat rumah Andi = ($1,-2$)
Koordinat rumah Budi = ($3,-4$)

Ditanya: Jarak terdekat rumah Andi dan Budi?

Penyelesaian:

Langkah 1: Masukan titik koordinat yang telah diketahui ke dalam koordinat kartesius.

Langkah 2: Buat titik $C$ untuk membentuk sebuah segitiga siku-siku.

Langkah 3: Mengidentifikasi panjang satuan sisi alas dan sisi tinggi segitiga siku-siku.

Panjang $BC$ ($a$) = ($2$ satuan)
Panjang $AC$ ($b$) = ($2$ satuan)

Langkah 4: Menghitung panjang AB berdasarkan Teorema Pythagoras.

Menggunakan rumus $c^2 = a^2 + b^2$:

$$c^2 = 2^2 + 2^2$$ $$c^2 = 4 + 4$$ $$c^2 = 8$$ $$c = \sqrt{8}$$ $$c = 2\sqrt{2}$$

Jadi, jarak terdekat antara rumah Andi dan Budi adalah $2\sqrt{2}$ satuan.